Se consideră progresia aritmetică $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ cu $\displaystyle a_1 = 2$ și $\displaystyle a_2 = 14$. Calculați termenul $\displaystyle a_3$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 - 2x$. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției $\displaystyle f$ cu axa $\displaystyle Ox$.

Rezolvați în mulțimea numerelor complexe ecuația $\displaystyle z^3 = -8i$.

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $\displaystyle n$ din mulțimea $\displaystyle A = \{1, 2, 3, ..., 9\}$, numărul $\displaystyle n+2$ să fie impar.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,3)$, $\displaystyle B(3,1)$ și $\displaystyle C(a,0)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle AB=AC$.

Arătați că $\displaystyle (1+\sin 30^{\circ}) \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} = 1$.

Pe mulțimea $\displaystyle \mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = 4x + 4y - 3$.

Arătați că legea de compoziție "." este comutativă.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (3 * (-3)) * x = 9$, unde legea de compoziție "." este comutativă.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (2x) * (-x) = 9$, unde legea de compoziție "." este comutativă.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x^2 A - x A^2 = 3 I_2$, unde $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2$ este matricea unitate de ordinul 2.

Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle B(x) \cdot B(x+1) = 16x - 15$, unde $\displaystyle B(x) = x - \frac{1}{2}$ și $\displaystyle x$ este număr real.

Determinați determinantul matricei $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -7 \end{pmatrix}$.

Arătați că $\displaystyle B(1) - 2I - A = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ -2 & -7 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(1)$ este o matrice.

Calculați $\displaystyle B(1) - 3I_2$, unde $\displaystyle B(1) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$.

Calculați $\displaystyle B(x) \cdot B(x) = x^2 I_2$, pentru orice număr real $\displaystyle x$, unde $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} x & 2 \\ -x^2 & -2x \end{pmatrix}$.

Determinați $\displaystyle \det(\hat{B}(X))$ pentru orice număr real $\displaystyle x$, unde $\displaystyle \hat{B}(X) = -x^2 I_2$ și $\displaystyle X$ este matrice.

Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle B(3) \cdot B(4) = 4^2 I_2$ și $\displaystyle B(n) = n^2 I_2$, unde $\displaystyle n$ este număr natural.