a) Arătați că $\displaystyle \det(A(4)) = 5$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații asociat matricei $\displaystyle A(a)$ are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle a=3$, determinați soluțiile sistemului de ecuații pentru care $\displaystyle \sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}=0$, sau $\displaystyle x_0=y_0=1$, sau $\displaystyle (x_0, y_0)=(1,0)$.

b) Calculați $\displaystyle x*3$ pentru $\displaystyle x=\sqrt[3]{4}$.

c) Determinați $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ pentru care $\displaystyle x*3=9$, unde legea de compoziție $\displaystyle x*y=x^{\log_3 y}$ pentru $\displaystyle x, y \in G$, unde $\displaystyle G$ este o mulțime cu legea de compoziție $\displaystyle *$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2x(x^2-4)+2x(x^2-9)$.

b) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} \frac{f(x)}{x^2+1} dx = \frac{\pi}{a} - \sqrt{3}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} x f(x) dx = 0$.

b) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} f(x) dx = \frac{\pi}{a} - \sqrt{3}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} x f(x) dx = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(X(0,1))=1$.

b) Demonstrați că, pentru orice numere reale distincte $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, sistemul de ecuații are soluție unică.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ este soluție a sistemului de ecuații, atunci $\displaystyle x_0^2-z_0^2-2a y_0=3$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

a) Arătați că $\displaystyle 3*10=17$.

b) Demonstrați că elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$” este $\displaystyle e=4$.

c) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x*x*x=x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{e^{2x}+2x^3}{\sqrt{e^{2x}+x^4+2}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle x-\sqrt{3}y=0$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ are un unic punct de extrem.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 2f(x)dx = \frac{\pi}{4}$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle x$, orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este strict crescătoare.

c) Arătați că, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, cu $\displaystyle a<b$, $\displaystyle \int_a^b F^2(x)f(x)dx>0$, pentru orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$.