a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+x+2)f(x) \text{d}x = \frac{17}{6}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x) - \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{x}{x^2+x+2}$. Determinați $\displaystyle a \in (0, +\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 g(x) \text{d}x = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{a+\sqrt{3}}{2}\ln\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 10$.

b) Arătați că $\displaystyle 2B(5) + B(-1) = 3B(3)$.

c) Determinați numărul întreg $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A - B(x)) = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle 4 \ast 4 = 4$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x = 0$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x \ast 1) \ast (x+1) = 4$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{24(2x^2-1)}{(2x^2+1)^3}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (xf(x)\ln x) = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - x^3)dx = 9$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{f(x)-6x} dx = \frac{1}{3} \ln 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^a f(\sqrt{x})dx = \frac{a^3}{5}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 1$.

b) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle a \in (0, +\infty)$, matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle a \in (0, +\infty)$, $\displaystyle \det(A(a) + A(a^{-1})) \ge 8$, unde $\displaystyle (A(a))^{-1}$ este inversa matricei $\displaystyle A(a)$.

a) Pentru $\displaystyle m=1$, arătați că $\displaystyle 2 \circ 2 = 2$.

b) Demonstrați că, dacă $\displaystyle x \circ y = 5$, atunci $\displaystyle x \circ 5 = 5$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle (mx^3) \circ (-mx^2) = m$, pentru orice $\displaystyle m \in (0, +\infty)$.