Exerciții

numere reale

5p 1. Arătați că $\displaystyle 2 - 3 \cdot \left(2 - \frac{1}{2}\right) = 1$ .

Subiectul I

funcții

5p 2. Se consideră funcțiile $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=x+2$ și $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle g(x)=x-4$ . Arătați că $\displaystyle f(1)-g(1)=0$ .

Subiectul I

ecuații exponențiale

5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2^{x-4}=4$ .

Subiectul I

aritmeticăprocente

5p 4. Un produs costă 70 de lei. Determinați prețul produsului după o scumpire cu $\displaystyle 30\%$ .

Subiectul I

geometrie analitică

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-3,4)$ , $\displaystyle B(0,3)$ și $\displaystyle C(0,4)$ . Calculați perimetrul triunghiului $\displaystyle ABC$ .

Subiectul I

geometrie sinteticătrigonometrie

5p 6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ , în care $\displaystyle AC=2$ , $\displaystyle BC=4$ și unghiul $\displaystyle A$ are măsura egală cu $\displaystyle 30^\circ$ . Arătați că $\displaystyle \sin B = \frac{1}{4}$ .

Subiectul al II-lea

determinanțimatrici

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ , $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Subiectul al II-lea

legi de compoziție

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = 3xy - 3(x+y) + 3$ .

Subiectul al III-lea

asimptotederivatemonotonie

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = x + \frac{4}{x} - 5$ .

Subiectul al III-lea

integraleprimitive

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = e^x+3x^2+3$ .

Subiectul I

progresii geometrice

5p 1. Determinați termenul $\displaystyle a_4$ al progresiei geometrice $\displaystyle (b_n)_{n \ge 1}$ , ştiind că $\displaystyle b_5 = 6$ și $\displaystyle b_6 = 18$ .

Subiectul I

ecuațiifuncții

5p 2. Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = x^2 + x - 4$ . Determinați numerele reale $\displaystyle m$ , ștind că $\displaystyle f(m) = m$ .

Subiectul I

ecuații

5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 10^{2x} = 100^{2x-3}$ .

Subiectul I

combinatorică

5p 4. Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifre din mulțimea $\displaystyle \{0, 1, 2, 3, 4\}$ .

Subiectul I

geometrie analitică

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-4,0)$ , $\displaystyle B(4,0)$ și $\displaystyle C(0,4)$ . Determinați coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului $\displaystyle ABC$ .

Subiectul I