1. Arătați că $\displaystyle 1*2=1$.

2. Arătați că $\displaystyle x*y = 1 - 3(x-1)(y-1)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

3. Arătați că $\displaystyle e = \frac{2}{3}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$” .

4. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (2-x)*x = 2+x$.

5. Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle m*n=19$.

6. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle (a*1)*(a*2) = (a*3)a^2$.

1. Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} x-2 & -x \\ -2x & 4x-2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

2. Arătați că $\displaystyle xA-2I_2 = B(x)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

3. Arătați că $\displaystyle A \cdot A - B(5)$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B(x)) = 4$.

5. Arătați că $\displaystyle B(xy)-xB(y) = yB(x)-B(2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

6. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(6^x)-2^x B(3^x) = 6I_2$.

Determinați al treilea termen al progresiei geometrice $\displaystyle (b_n)_{n \geq 1}$, știind că $\displaystyle b_1=2$ și $\displaystyle b_2=6$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x+7$ și $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=x-7$. Calculați $\displaystyle (f \circ g)(7)$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{2x-1}=x-2$.

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $\displaystyle n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea $\displaystyle n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) \neq 0$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,1)$, $\displaystyle B( -1,0)$, $\displaystyle C(3,5)$ și $\displaystyle D(5,6)$. Demonstrați că punctele $\displaystyle B$, $\displaystyle D$ și mijlocul segmentului $\displaystyle AC$ sunt coliniare.

Determinați $\displaystyle x \in (0, \pi)$, știind că $\displaystyle (\sin x - \cos x)^2 = 2$.