a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} dx = \frac{5}{2}$.

b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$, este egal cu $\displaystyle \frac{17\pi}{12}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \ln x dx = \frac{e^2+a}{4}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = e^x + \frac{-2x(x^2+1) - (1-x^2)(2x)}{(x^2+1)^2} = e^x + \frac{-2x^3-2x - 2x + 2x^3}{(x^2+1)^2} = e^x + \frac{-4x}{(x^2+1)^2}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{e^x + \frac{1}{x+1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x + \frac{1-x^2}{x^2+1}}{e^x + \frac{1}{x+1}}$.

c) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ a graficului funcției $\displaystyle f$. Deoarece $\displaystyle x \in [-1,1] \implies y \le 0 € f'(x) \ge 0$, f este crescătoare pe $\displaystyle [-1,1] € f(-1) \le f(x) \le f(1)$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,1]$. d) Calculați $\displaystyle \frac{2-e}{2e} - e € f(x) \le \frac{2e+1}{2}$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} dx = \frac{5}{2}$.

b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$, este egal cu $\displaystyle \frac{17\pi}{12}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \ln x dx = \frac{e^2+a}{4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \text{det}(A(0))=8$.

b) Determinați matricea $\displaystyle B \in M_3(\mathbb{R})$, știind că $\displaystyle AB=A(a)-2I_3$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \text{det}(A(n)-A(-n)) \ge 0$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 \ast 0 = 2$.

b) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale astfel încât $\displaystyle a \ast b \le b$, atunci $\displaystyle a \le 0$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (2x) \ast (x^2+1) \ast (-2x) = 10$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\sqrt{x^2+3}-x}{\sqrt{x^2+3}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are soluție.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (x^2+3)f(x)dx=2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 g(x)dx = \ln \frac{9}{5}$, unde $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{2x+1}{x} \cdot f(x)$.

c) Se consideră numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, cu $\displaystyle 0 \le a < b$. Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_a^b (f''(x))^n dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = 0$.