a) Arătați că $\displaystyle \det A=-5$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle B(1) \cdot B(-1) + 3A = 4B(A)$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle X(A-2I_2) = B(0)$.

a) Arătați că $\displaystyle 3*4=18$.

b) Demonstrați că legea de compoziție „*” este comutativă.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle (2m)*(2n)=13$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3}{(x+5)^2}$, $\displaystyle x \in (-5, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=3x+5$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x) + 2\sqrt{x}) dx = 8$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = x-\sqrt{x}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$.

c) Calculați $\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{f(x)} dx$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B \cdot B = A$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B + (\det B)A) = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle (-8) \circ 2 = 10$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care pentru care $\displaystyle x \circ \left( \frac{x}{2} \circ 3 \right) \circ x = 2x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x^2}, x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2f(x)}{x-1} = -1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)+1)dx = \frac{1}{3}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle \int_{1}^{e} xF(x) dx = \frac{e^3}{3} + \frac{1}{9}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a \in (0, +\infty)$, pentru care $\displaystyle \int_{0}^{a} (f(\sin x) + f(\cos x))\operatorname{tg} x dx = \ln a$.