a) Arătați că $\displaystyle \det(A(4))=-7$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(1)+A(1)+2A(x))=11$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A(0) \cdot A(x) - A(1) = 3A(y)$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*2= -21$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x-1)*x=1$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x^2*x \le 0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(x-1)e^x$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{e^x-e}$.

c) Arătați că $\displaystyle (2-x)e^x \le 1$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} (f(x)-x^2)dx = -2$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=\frac{6-\ln 2}{2}$.

c) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} x^4(f(x)+1)^2 dx$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det A=0$.

b) Determinaţi numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B(x)) + \det(B(7)-A) = 0$.

c) Determinaţi matricea $\displaystyle C \in M_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle xA-A \cdot B(x) = 14C$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătaţi că $\displaystyle 1*3=1$.

b) Demonstraţi că $\displaystyle e=\frac{7}{6}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Determinaţi suma numerelor întregi $\displaystyle m$ care verifică inegalitatea $\displaystyle m * \frac{m}{2} \ge 1$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{3(x^5+2)}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinaţi intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătaţi că funcția $\displaystyle f$ este convexă.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^2 (x+1)f(x)dx=4$.

b) Calculaţi $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x}dx$.

c) Arătaţi că $\displaystyle \int_1^2 f(x)f(-x)dx = 4(1-\ln 3)$.