Exerciții

determinanțimatrici

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x-2 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ , unde $\displaystyle x$ este număr real.

Subiectul al II-lea

legi de compoziție

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = \frac{x y}{3} - x - y + 3$ .

Subiectul al III-lea

derivatefuncții

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = -2x^3 - 6x^2 + 18x - 49$ .

Subiectul al III-lea

funcțiiintegraleprimitive

Se consideră funcția $\displaystyle f : (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = x \ln x - x$ .

Subiectul I

numere realeradicali

Arătați că $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-2} = \sqrt{5}+2$ .

Subiectul I

ecuațiifuncții

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=2x^2+5x+2$ . Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle f(a)=a$ .

Subiectul I

logaritmi

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_3 (x+1)=2$ .

Subiectul I

probabilități

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $\displaystyle x$ din mulțimea $\displaystyle A=\{4,5,6,7,8,9\}$ , numărul $\displaystyle x^2$ să fie număr impar.

Subiectul I

geometrie analitică

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,1)$ , $\displaystyle B(4,3)$ și $\displaystyle C(a,b)$ , unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $\displaystyle a, b$ , știind că punctul $\displaystyle A$ este mijlocul segmentului $\displaystyle BC$ .

Subiectul I

geometrie sintetică

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ , dreptunghic în $\displaystyle A$ , cu $\displaystyle AB=9$ și $\displaystyle AC=12$ . Determinați lungimea înălțimii din $\displaystyle A$ a triunghiului $\displaystyle ABC$ .

Subiectul al II-lea

determinanțimatricisisteme de ecuații liniare

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Subiectul al II-lea

ecuațiilegi de compozițienumere naturale

Pe mulțimea $\displaystyle M=(0, +\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy - \frac{12}{x+y} + \frac{3}{x} + \frac{3}{y}$ .

Subiectul al III-lea

derivatelimite de funcțiitangenta la grafic

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=\frac{2}{x^2-2x+2}$ .

Subiectul al III-lea

ecuațiifuncțiiintegrale

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)= \begin{cases} e^x+1, & x \in (-\infty, 0] \\ \frac{2x}{x^2+1}, & x \in (0, +\infty) \end{cases}$ .

Subiectul I

numere

5p 1. Arătați că media aritmetică a numerelor $\displaystyle a=2,4$ și $\displaystyle b=4-\frac{2}{5}$ este egală cu $\displaystyle 3$ .

Subiectul I

ecuațiifuncții

5p 2. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=x^2+3x$ cu axa $\displaystyle Ox$ .

Subiectul I

ecuații

5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2^{x-1}=32$ .

Subiectul I