a) Arătați că $\displaystyle \det A=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(x)=B(x) \cdot A$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det (aA+B(a))=0$.

a) Arătați că $\displaystyle 2*(-1)=3$.

b) Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este comutativă.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n*n=48$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(x-1)(6x+5)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)+5\ln x}{x f'(x)} = \frac{1}{2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 3x^2-x-2 \ge 5\ln x$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{2} (x+2)f(x)dx=6$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{4} \frac{f(x)}{x^2+1}dx$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_{0}^{n} (x^2-9)f(x)dx=n^2$.

a) Arătați că $\displaystyle \det B = -4$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A \cdot A - B \cdot B = a(A+B)$.

c) Arătați că, pentru orice număr real $\displaystyle x$, matricea $\displaystyle C(x)=xA+2B$ este inversabilă.

a) Arătați că $\displaystyle 2 \ast \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (4x) \ast \frac{1}{4} = 25$.

c) Calculați $\displaystyle \frac{1}{2} \ast \frac{1}{3} \ast \frac{1}{4} \ast \frac{1}{5}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x+1)(x+5)}{(x+3)^2}$, $\displaystyle x \in (-3, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x^2+f(x) \ge 1$, pentru orice $\displaystyle x \in (-3, +\infty)$.

a) Calculați $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x+1} dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x^2} dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a \in [\frac{1}{2}, 2)$, știind că $\displaystyle \int_a^2 \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} dx = 18$.