a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y+xy)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle (m,n)$ pentru care matricea $\displaystyle A(m)$ este inversa matricei $\displaystyle A(n)$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ 0 = 1$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, ştiind că $\displaystyle x \circ 1 > 4$ dacă şi numai dacă $\displaystyle x \in (3, +\infty)$.

c) Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este asociativă dacă și numai dacă $\displaystyle a=\frac{1}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle e^x(f(x)+f'(x))=1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că dreapta de ecuație $\displaystyle y=x$ este tangentă la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi} f(x) dx = 2$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^{\pi} x f(x) dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi} f(x) dx \ge \int_0^{\pi} f^2(x) dx$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(x))=6^{2x}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot B = B \cdot A(x)$.

c) Demonstrați că orice matrice $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle X \cdot X = A(1)$ are toate elementele numere întregi.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ 1 = 1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ astfel încât $\displaystyle 2a+2b+c \ne 0$. Știind că $\displaystyle c=a \circ b$, demonstrați că $\displaystyle a \circ c = c \circ b$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ (x+1) = 5x^2+2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\ln x+1+a$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Pentru $\displaystyle a=-1$, determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, funcția $\displaystyle f$ este convexă.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{e}^2-1}{\mathrm{e}^2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x^2) \mathrm{d}x$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 x^n f(x) \mathrm{d}x$. Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1} + (n+1)I_n = 2\mathrm{e} - (n+1)I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.