a) Arătați că $\displaystyle \det(A(-1)) = -3$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații admite soluție unică.

c) Determinați numărul întreg $\displaystyle a$, știind că există numerele reale $\displaystyle y_0$ și $\displaystyle z_0$ astfel încât $\displaystyle (1, y_0, z_0)$ este soluție a sistemului de ecuații.

a) Verificați dacă $\displaystyle e = 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ \left( \frac{1}{5} \right) \circ y = \frac{1}{5}$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Calculați partea întreagă a numărului $\displaystyle q = \left( -\frac{1}{2} \right) \circ \left( -\frac{1}{3} \right) \circ \dots \circ \left( -\frac{1}{2021} \right)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 1 + \frac{1}{x} + \ln x$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(1,0)$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (1, +\infty)$.

a) Pentru $\displaystyle n=3$, se consideră funcția $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = (x^2+1)f(x)$. Determinați primitiva $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle g$ pentru care $\displaystyle G(0) = 2021$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ pentru $\displaystyle n=1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{\pi}{4} \le \int_0^1 f(x)dx \le 1$ pentru orice număr natural $\displaystyle n, n \ge 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \operatorname{det}(A(0))=-2$.

b) Arătați că matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle A$ și $\displaystyle B$ sunt numere întregi și $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle A(a) \cdot X=A(b)$, atunci elementele matricei $\displaystyle X$ sunt numere întregi.

a) Arătați că numărul $\displaystyle a=2$ este întreg.

b) Arătați că $\displaystyle x \circ y \geq 4$, pentru orice $\displaystyle x, y \in A$.

c) Arătați că legea de compoziție „o” nu admite element neutru.

a) Arătați că $\displaystyle f^{\prime}(x)=-\frac{4 x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$, $\displaystyle x \in(-1,1) \cup(1,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul în care graficul intersectează axa $\displaystyle O y$.

c) Calculați $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x(f(x)+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{2}(x+4) f(x) d x=6$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) d x$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{n} f(x) e^{-x} d x<1$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.