a) Arătați că $\displaystyle \det(B(1,2)) = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A \cdot B(a,b)) = 0$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(a,b) = B(a,b) \cdot A$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 \circ 5 = 3$.

b) Calculați $\displaystyle a \circ b$, ştiind că $\displaystyle a = (2:3) \cdot 4$ și $\displaystyle b = 2:(3 \cdot 4)$.

c) Arătați că există o infinitate de perechi $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale nenule pentru care $\displaystyle m \circ n = m$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-1}{x(x+1)^2}$, $\displaystyle x \in (1, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ nu este surjectivă.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-1)dx = 2-e$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = 2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 f(x^2)dx \le \int_0^1 f(x)dx$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(\sqrt{2})) = -1$.

b) Arătaţi că matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle a \in \mathbb{R} \setminus \{-1,1\}$.

c) Determinaţi numărul întreg $\displaystyle k$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot A(1) - A(1) = k \cdot A(1)$.

a) Arătaţi că numărul $\displaystyle 1$ este element neutru al legii de compoziţie "$\displaystyle \circ$".

b) Arătaţi că $\displaystyle x \circ x \ge \frac{2}{3}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinaţi numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x \circ x = x$, unde $\displaystyle e$ este elementul neutru al legii de compoziţie "$\displaystyle \circ$".

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(x^2+1)-2x(e^x-1)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătaţi că graficul funcţiei $\displaystyle f$ nu admite asimptotă spre $\displaystyle +\infty$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle f\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) < f\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_{1}^{3} f^2(x) dx = 4$.

b) Calculaţi $\displaystyle \int_{0}^{1} f(e^x) dx$.

c) Arătaţi că $\displaystyle \int_{1}^{e^2} \frac{f(\ln x)}{x} dx = 2e^2$.