a) Arătați că $\displaystyle \det(A(4))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a)) \cdot A(1) - A(a) \cdot \det(A(1))$ este matricea nulă, pentru orice $\displaystyle a \in (0,+\infty)$.

c) Arătați că matricea $\displaystyle B(n) = A(1^2)+A(2^2)+A(3^2)+...+A(n^2)$ este inversabilă, pentru orice număr natural $\displaystyle n$, $\displaystyle n \ge 2$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 \circ \sqrt[3]{-2} = \sqrt[3]{3}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = \sqrt[3]{(x- \sqrt{3})(y-\sqrt{3}) + \sqrt{3}}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Calculați $\displaystyle \frac{1}{3} \circ \frac{1}{3} \circ ... \circ \frac{1}{3}$ (de 2021 ori).

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle (-\infty,0)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \le 1$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{3} x(x+2)f(x)dx = 16$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{3} f(x)dx$.

c) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este concavă.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=-3$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Arătați că sistemul de ecuații nu admite nicio soluție $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ astfel încât $\displaystyle x_0 = \frac{z_0}{2} = \frac{2}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle 2021 \ast (-2021) = -3$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{x+27}$. Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ast f(y) = f(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{-3x^2(x^3-1)^2}{(x^6+7)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați asimptotele graficului funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle |f(x)-f(y)| \le \frac{7}{7}$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{e^x}{2x+1} f(x) dx = e-1$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 e^x f(x) dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 \frac{1}{x(x+2)} f\left(\frac{1}{x}\right) dx = \frac{e-1}{2e^2}$.