a) Arătați că $\displaystyle \det(A(m)) = m-10$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Determinați inversa matricei $\displaystyle A(9)$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle m \ne 10$, dacă $\displaystyle (a,b,c)$ este soluția sistemului de ecuații, atunci $\displaystyle \log_2 a + b + c = 2$.

a) Arătați că $\displaystyle x*3=3$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, astfel încât $\displaystyle x*x*x=-46$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{5^x}{7}+3$. Demonstrați că $\displaystyle f(x*y) = f(x)*f(y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2+2}{(x^2+2x+2)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = x^2 - 4x\ln x + 4x + \ln x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^2 (x+2)f(x)dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m, m>2$, astfel încât $\displaystyle \int_2^m f(x)dx = 2m + \frac{1}{m} - \frac{17}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(a,b) \u00B7 M(x,y) = M(ax+by, ay+bx)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a, b, x$ și $\displaystyle y$.

c) Arătați că, dacă $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale pentru care matricele $\displaystyle B = M(x,2y)$ și $\displaystyle C = M(y,2x)$ sunt egale, atunci $\displaystyle x^2+y^2=0$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*(2 \circ 3) = 25$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x*e=e$, pentru orice număr real $\displaystyle x$, unde $\displaystyle e$ este elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle \circ$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n*(-n) \ge -n$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (0, +\infty)$.

c) Arătați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, $\displaystyle a<0$, tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(a, f(a))$ nu este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{4} g(x) dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, $\displaystyle m \in (0,1)$, pentru care $\displaystyle \int_{m}^{1} f^2(x)g(x)dx = \frac{1}{3}$.