Se consideră progresia aritmetică $\displaystyle (a_n)_{n\ge 1}$ cu $\displaystyle a_1 = -2$ și $\displaystyle a_3 = 4$. Calculați termenul $\displaystyle a_5$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = ax+2$, unde $\displaystyle a$ este număr real nenul. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care graful funcției $\displaystyle f$ intersectează axa $\displaystyle Ox$ în punctul $\displaystyle A(2,0)$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_8 (7x+8) = 2$.

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $\displaystyle n$ din mulțimea numerelor naturale nenule $\displaystyle n \le 9$, să fie număr natural de două cifre.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$, sunt date punctele $\displaystyle A(-2,2)$, $\displaystyle B(2,5)$ și $\displaystyle C(5,1)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic isoscel.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, $\displaystyle AB=10$, $\displaystyle AC=17$ și $\displaystyle BC=21$. Determinați aria triunghiului $\displaystyle ABC$ aplicând formula lui Heron.

Pe mulțimea $\displaystyle M = [0, +\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = \frac{x+y+6}{xy+1}$ pentru oricare $\displaystyle x, y \in M$.

Arătați că $\displaystyle 1 * 2 = 3$.

Arătați că $\displaystyle x * 1 > 1$, pentru orice $\displaystyle x \in M$.

Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x * 3 = \frac{3}{2}$.

Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x * x \ge 2$.

Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale, cu $\displaystyle m<n$, pentru care $\displaystyle m * n = 1$, pentru care $\displaystyle m<n$, obținem $\displaystyle m=-4$, $\displaystyle n=-2$, $\displaystyle (1,4)$ și $\displaystyle (2,2)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$. Calculați $\displaystyle \det A$, unde $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Arătați că $\displaystyle B(-6) - B(2) = 4B(0)$.

Arătați că $\displaystyle B(-2) = 4I_2$.

Arătați că $\displaystyle B(2x) + xA = \begin{pmatrix} 1+x & -4x \\ -4x & 0 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle B(1)X=A$.

Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere întregi, $\displaystyle m \le n$, pentru care $\displaystyle \\det(B(m) \\cdot B(n) + mnI_2) = 4$.

Arătați că $\displaystyle \sqrt{2}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)+2\left(1-\sqrt{3}\right)=4$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=4x-1$. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle f(a) \cdot f(0) + f(3) = 0$.