Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 16 \cdot 2^{2x} = 8^{x}$.

Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu cifre din mulțimea $\displaystyle \{6,7,8,9\}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,4)$, $\displaystyle B(-1,4)$ și $\displaystyle C(-1,-2)$. Determinați aria triunghiului $\displaystyle ABD$, știind că punctul $\displaystyle D$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AC$.

Arătați că $\displaystyle \left(\operatorname{tg}30^{\circ} + \operatorname{tg}60^{\circ}\right)\sin 60^{\circ} = 2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = 9xy + x + y$. Arătați că $\displaystyle 1 * 2 = 21$.

Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este comutativă.

Arătați că $\displaystyle e = 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (-1) * x = 15$.

Determinați simetricul elementului $\displaystyle x = 1$ în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle *$”.

Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle N = \frac{1}{3} * n * \frac{2}{3}$ este număr natural de două cifre.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle X(a) = \begin{pmatrix} 2 & a \\ a^{2} & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det A = 9$.

Arătați că $\displaystyle A + X(2) = 3X(1)$.

Arătați că $\displaystyle A \cdot A = 6A - 9I_2$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Arătați că matricea $\displaystyle M(a) = X(a) + X(-a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care matricea $\displaystyle B = X(-1) \cdot X(n)$ are toate elementele numere naturale.

Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det\left(X(2a) - X(a)\right) = 3$.

1. Arătaţi că numărul $\displaystyle a=3+\sqrt{3}+4\sqrt{3}-(2+\sqrt{3})^2$ este întreg.

2. Se consideră funcţiile $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x+3$ şi $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=x^2+2x$. Determinaţi abscisele punctelor de intersecţie a graficelor funcţiilor $\displaystyle f$ şi $\displaystyle g$.

3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia $\displaystyle 2^{x^2+4x+2}=64 \cdot 2^x$.

4. Probabilitatea ca, alegând un număr $\displaystyle a$ din mulţimea $\displaystyle A=\{-2,-1,1,3,4\}$, acesta să verifice inegalitatea $\displaystyle \sqrt{a^2-2a+1}\ge 3$.