5. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle M(1)+M(2)+M(3)+...+M(9)=aM(b)$.

6. Arătați că $\displaystyle \det(M(a) \cdot M(b) - M(b) \cdot M(a)) \le 0$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

Arătați că $\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 & 2 \\ 15 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 3x - 4$. Determinați valorile reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle f(x) \le 5(1)$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 8^{2x-1} = 32^x$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$, considerați punctele $\displaystyle A(x, y)$ și $\displaystyle B(4, a)$, unde $\displaystyle a$ este un număr real. Știind că prețul acestuia $\displaystyle 25 \%$ din prețul blocului de desen, determinați $\displaystyle a$.

Pe mulțimea numerelor reale, se consideră punctele $\displaystyle A(a, 0)$, $\displaystyle a>0$, $\displaystyle B(4, a)$ și $\displaystyle C(a, 1)$. Determinați $\displaystyle a$.

Cum $\displaystyle AC = BC^2 - 1$, unde $\displaystyle BC$ este lungimea laturii $\displaystyle BC$, și $\displaystyle AC=5$, $\displaystyle BC=3$, $\displaystyle AB=12$. Determinați $\displaystyle a$.

Arătați că operația $\displaystyle \ast: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, definită prin $\displaystyle x \ast y = x^2 + y^2 - 2xy - 2$, * este comutativă.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale $\displaystyle x \ast x = -2x - 2$, unde $\displaystyle x \ast y = x^2 + y^2 - 2xy - 2$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x^2 - 4x = -3$.

Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle m^2 - 4m + 4 = 0$, unde $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ sunt numere naturale cu $\displaystyle m < n$.

Calculați $\displaystyle lg x + lg \frac{1}{x} = 3lg x^2$, pentru orice număr real $\displaystyle x > 0$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x>0$ pentru care $\displaystyle x \cdot lg x = 100x$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0 & -6 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}$. Determinați $\displaystyle det(A)$.

Determinați $\displaystyle 2A - B$.

Calculați $\displaystyle A \cdot x + y \mathbf{1}_2 = \begin{pmatrix} 2x+y \\ -x+y \end{pmatrix}$, pentru numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ de unde obținem $\displaystyle x = 1$ și $\displaystyle y = -4$.

Determinați numerele naturale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle (A+B)^2 = 16 - 4a$.

Determinați numerele naturale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle (B+aI_2)(B-aI_2) = B^2 - a^2I_2^2$.