5p 3. Determinaţi matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle 2(X-A)=3(X-B)$.

5p 4. Determinaţi numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A+xI_2)=2$.

5p 5. Arătaţi că, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$, numărul $\displaystyle N=\det((1+n)A+(1-n)B)$ este natural, multiplu de 8.

5p 6. Determinaţi numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot (A-xI_2) = B \cdot (B+xI_2)$.

1. Arătați că $\displaystyle \sqrt{81}-\sqrt{196}+(\sqrt{3\sqrt{2}})^2:\sqrt{9}=1$.

2. Se consideră funcțiile $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-2$ și $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=x^2+5x+2$. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $\displaystyle f$ și $\displaystyle g$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{12-x}=3x$.

4. Prețul unui obiect este de 400 de lei. Determinați prețul obiectului după două scumpiri succesive, cu 20%, respectiv cu 15%.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctul $\displaystyle A(1,3)$ și dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y=3x-4$. Arătați că dreapta $\displaystyle OA$ este paralelă cu dreapta $\displaystyle d$.

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, în care $\displaystyle \sin A=\frac{1}{3}$, $\displaystyle \sin B=\frac{1}{4}$ și $\displaystyle BC=8$. Determinați lungimea laturii $\displaystyle AC$ a triunghiului $\displaystyle ABC$.

1. Arătați că $\displaystyle 1*2=2$.

2. Arătați că $\displaystyle x*y=2-3(x-2)(y-2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

3. Arătați că $\displaystyle e=\frac{5}{3}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

4. Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care numărul $\displaystyle N=5*n$ este natural.

5. Calculați $\displaystyle (-1)*0*(-8)*...*10$.

6. Determinați numerele reale nenule $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*\frac{1}{x}*(x^2+2)=5$.

1. Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} -4 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & 2a \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det(M(1))=1$.

2. Arătați că $\displaystyle 4M(2)-M(-1)=3M(3)$.

3. Arătați că $\displaystyle A \cdot A+7M(1)=24I_2$.

4. Arătați că $\displaystyle A-2I_2$ este inversa matricei $\displaystyle M(1)$.