1. Se consideră matricea $\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix} x & 1 \\ -1 & x+y \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale. Arătați că $\displaystyle \det(A(-1,3))=-1$.

2. Arătați că $\displaystyle 2A(1,1)-A(2,2)=A(0,0)$.

3. Arătați că $\displaystyle A(0,0) \cdot A(1,0)=A(-1,0)$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x,1)-xA(1,1))=9$.

5. Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x,y))+\det(A(y,x))\ge 2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

6. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A(x,y)\cdot A(-y,-x)=A(0,-1)$.

5p 1. Arătaţi că $\displaystyle (2,5-0,7):2+\frac{1}{10}=1$.

5p 2. Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x-4$. Determinaţi numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle f(2a-4)=f(a)+4$.

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia $\displaystyle 3^{x^2-x}=9^{3-x}$.

5p 4. După o ieftinire cu 45%, un produs costă 77 de lei. Determinaţi preţul produsului înainte de ieftinire.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,-1)$, $\displaystyle B(-5,7)$ şi $\displaystyle C(7,7)$. Calculaţi aria triunghiului $\displaystyle ABC$.

5p 6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ cu $\displaystyle AB=AC=6$ şi $\displaystyle BC=4$. Calculaţi $\displaystyle \cos A$.

5p 1. Arătaţi că $\displaystyle (-2)\cdot 3-(-2):3=16$.

5p 2. Arătaţi că legea de compoziţie $\displaystyle x \circ y = x(y+1)-y$ este comutativă.

5p 3. Determinaţi numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (1-x)\circ x=8$.

5p 4. Determinaţi cel mai mic număr natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle 1\circ n \ge 2021$.

5p 5. Determinaţi numărul întreg $\displaystyle a$ pentru care numărul $\displaystyle A=a\circ\sqrt{2}$ este întreg.

5p 6. Se consideră numerele reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Arătaţi că, pentru orice număr real $\displaystyle m$, numerele $\displaystyle x\circ m$, $\displaystyle y\circ m$ și $\displaystyle z\circ m$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

5p 1. Arătaţi că $\displaystyle \det A=4$.

5p 2. Arătaţi că $\displaystyle (A+B):(-4)=24I_2$.