Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (2x) \circ x = 24$.

Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, cu $\displaystyle m > n$, pentru care $\displaystyle m \circ n = 9$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & -a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale. 1. Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

Pentru $\displaystyle a = 3$ și $\displaystyle b = -1$, calculați $\displaystyle 3A - 2B$.

Pentru $\displaystyle a = -3$ și $\displaystyle b = 2$, arătați că $\displaystyle A \cdot B = B \cdot A$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle B \cdot B = I_2$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Arătați că $\displaystyle \det(A - B) = 1 - (a - b)^2$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

Arătați că, dacă numărul $\displaystyle a$ este cu $\displaystyle 5$ mai mare decât numărul $\displaystyle b$, atunci $\displaystyle \det(A \cdot B + B \cdot A) = 0$.

1. Arătați că media geometrică a numerelor $\displaystyle a=1+\frac{1}{2}$ și $\displaystyle b=\sqrt{16}$ este egală cu 6.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+2x+3$. Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a\ne -2$, pentru care $\displaystyle f(a)=f(-2)$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_3 (3x-15)=\log_3 5+\log_3 3$.

4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, care au toate cifrele egale, acesta să fie multiplu de 9.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2,a)$ și $\displaystyle B(5,5a)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că lungimea segmentului $\displaystyle AB$ este egală cu 7.

6. Arătați că $\displaystyle 2\sin^2 135^\circ - \sin 30^\circ - \cos^2 60^\circ = 0$.

1. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y = xy-x-y+1$. Arătați că $\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+1$.

2. Arătați că $\displaystyle 1*x=1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

3. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x+1)*15=15$.

4. Arătați că $\displaystyle (x*y)*z = x*(y*z)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y, z$ și $\displaystyle t$.

5. Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*x \ge 0$.

6. Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle (2^{n^2}+2^{n^2})*(2^{n^2}+2^{n^2}) = 6$.