3. Arătați că $\displaystyle e = \frac{6}{5}$ este elementul neutru al legii „$\displaystyle \circ$”.

4. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \frac{6}{5} \circ x = \frac{6}{5}$.

5. Determinați perechile $\displaystyle (a,b)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle a \circ b = 21$.

6. Calculați $\displaystyle \frac{5}{1} \circ \frac{5}{2} \circ \frac{5}{3} \circ \frac{5}{4} \circ \frac{5}{5} \circ \frac{5}{6} \circ \frac{5}{7} \circ \frac{5}{8} \circ \frac{5}{9}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -2 & -4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = 2x A - I_2$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

1. Arătați că $\displaystyle \det A = 8$.

2. Arătați că $\displaystyle A \cdot A = 8I_2$.

3. Demonstrați că matricea $\displaystyle B(x)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

4. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(x) \cdot B(\frac{1}{2}) = 9I_2$.

5. Arătați că $\displaystyle xB(x)-yB(y) = (x-y)B(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

6. Determinați numărul întreg $\displaystyle k$ pentru care $\displaystyle B(1)-2B(2)+3B(3)-\dots-20B(20)=kB(21)$.

Calculați $\displaystyle 9 : \left(1 - \frac{1}{2}\right)^2 - 8$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = ax - 2$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că, dacă punctul $\displaystyle A(1,3)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f$, atunci punctul $\displaystyle B(-1,-7)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 5^{2x-5} = 125$.

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $\displaystyle n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, numărul $\displaystyle 2^n - 3$ să fie cub perfect.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2,4)$, $\displaystyle B(0,2)$, $\displaystyle C(1,3)$ și $\displaystyle D$, astfel încât segmentele $\displaystyle AB$ și $\displaystyle CD$ au același mijloc. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle D$.

Se consideră pătratul $\displaystyle ABCD$ de latură $\displaystyle 12$ și punctul $\displaystyle O$ intersecția dreptelor $\displaystyle AC$ și $\displaystyle BD$. Determinați aria triunghiului $\displaystyle AMC$, știind că $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle OB$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x^3 - xy^2 - y^3 + y^2$. 1. Arătați că $\displaystyle 1 * (-2) = 9$.

Arătați că $\displaystyle x * y = (x+y)(x-y)^2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Arătați că legea de compoziție este comutativă.

Arătați că $\displaystyle x \circ (-x) = 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.