Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y=(x-y)(y-x)+1$. Arătați că $\displaystyle (-1)*4=-24$.

Arătați că $\displaystyle x * y=(1-x)(1+y-x)$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Arătați că $\displaystyle x * x=(1-x)^{2}$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * (-1)=\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2^{x} * 2^{x+1}=1-2^{2021}$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$, $\displaystyle x>0$, pentru care $\displaystyle \lg x * \lg \frac{x}{10}=\lg x \cdot \lg \frac{x}{100}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}5 & 2 \\ -5 & -3\end{array}\right)$ și $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}3 & 2 \\ -5 & -5\end{array}\right)$. Arătați că $\displaystyle \operatorname{det} A=-5$.

Arătați că $\displaystyle A \cdot B=5 I_{2}$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \operatorname{det}\left(A-x I_{2}\right)=10$.

Arătați că suma elementelor matricei $\displaystyle A^{-1}$ este egală cu $\displaystyle -1$, unde $\displaystyle A^{-1}$ este inversa matricei $\displaystyle A$.

Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle B \cdot X=20 I_{2}$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot (B-I_2) - (A \cdot A - I_2) \cdot B = x(B-A)$.

1. Arătați că $\displaystyle \frac{2}{2-\sqrt{3}}-\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=1$.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x-6$. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle f(a)+f(2a)=f(9)$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x+\sqrt{3x}=2x$.

4. Determinați câte numere naturale impare de trei cifre se pot forma cu cifre din mulțimea $\displaystyle \{1,2,3,4,5\}$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1, -3)$, $\displaystyle B(5,1)$ și dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle x-2y+a=0$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că mijlocul segmentului $\displaystyle AB$ este situat pe dreapta $\displaystyle d$.

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle BC=20$ și $\displaystyle \sin B = \frac{4}{5}$. Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = 5xy - 5x - 5y + 6$.

1. Arătați că $\displaystyle 1 \circ 5 = 1$.

2. Arătați că $\displaystyle x \circ y = 5(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.