5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2,1)$, $\displaystyle B(3,1)$ și $\displaystyle C(3,-3)$. Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC.$

6. Arătați că $\displaystyle \cos 60^\circ - (5 \sin 30^\circ - \sin 150^\circ) = 1.$

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = x + y + 2^{xy} - 1.$ 1. Arătați că $\displaystyle 1 \ast 3 = 11.$

2. Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle \ast$” este comutativă.

3. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle a \ast 1 = (-1) \ast a.$

4. Arătați că $\displaystyle x \ast \frac{1}{x} \ge 3$, pentru orice număr real $\displaystyle x > 0.$

5. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast (3x) = (4x-1) \ast 1.$

6. Arătați că, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$, numărul $\displaystyle N = n \ast (n+1)$ este natural par.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 2a \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. 1. Arătați că $\displaystyle \det(A(2)) = -22.$

2. Arătați că $\displaystyle A(1) \cdot A(1) - 3A(1) = 4I_2.$

3. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x)) = -52.$

4. Arătați că $\displaystyle A(a) - (a-1)A(0) = (a-1)A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle a.$

5. Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det(A(m)+A(1)) = 2.$

6. Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n) - \frac{1}{n}A\left(\frac{1}{n}\right) = A\left(\frac{1}{n}\right).$

Arătați că $\displaystyle \left(\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=1$.

Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=-3 x^{2}+x+2$ cu axa $\displaystyle O x$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{16+3 x}=5$.

Două produse s-au vândut, o perioadă de timp, cu același preț. După ce unul dintre ele s-a scumpit cu $\displaystyle 20 \%$ și celălalt s-a ieftinit cu $\displaystyle 20 \%$, diferența dintre prețul primului produs și prețul celui de-al doilea este de $\displaystyle 26$ de lei. Determinați prețul inițial al produselor.

În reperul cartezian $\displaystyle x O y$ se consideră punctele $\displaystyle A(-8,4)$, $\displaystyle B(6,7)$ și $\displaystyle C(0,a)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că dreptele $\displaystyle A O$ și $\displaystyle B C$ sunt paralele.

Se consideră rombul $\displaystyle A B C D$, cu unghiul $\displaystyle A$ ascuțit, $\displaystyle A B=9$ și aria egală cu $\displaystyle 72$. Calculați $\displaystyle \sin A$.