Se consideră determinantul $\displaystyle D(a,b)=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & b \\ 1 & a^2 & b^2 \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Calculați $\displaystyle D(1,0)$.

b) Arătați că $\displaystyle D(a,b)=(a-1)(b-1)(b-a)$ pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Demonstrați că numărul $\displaystyle D(m,n)$ este par pentru orice numere întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.

Se consideră inelul $\displaystyle (\mathbb{Z}_6, +, \cdot)$, unde $\displaystyle \mathbb{Z}_6=\{\hat{0}, \hat{1}, \hat{2}, \hat{3}, \hat{4}, \hat{5}\}$.

a) Rezolvați în $\displaystyle \mathbb{Z}_6$ ecuația $\displaystyle \hat{3}x+\hat{2}=\hat{5}$.

b) Determinați mulțimea valorilor funcției $\displaystyle f:\mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_6$, $\displaystyle f(x)=x^3-x$.

c) Determinați numărul elementelor mulțimii $\displaystyle H=\{x \in \mathbb{Z}_6 | x^{10} = x\}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x} + \ln x$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 1$ pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{x+1}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} (x+1)f(x) dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{e} f(x) \ln x dx$.

c) Arătați că $\displaystyle F(e-1)=\frac{e^2-4e+7}{2}$, unde $\displaystyle F:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=1$.

Se consideră matricea $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9\end{array}\right)$.

a) Calculați $\displaystyle \operatorname{det} A$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care matricele $\displaystyle A+m I_{3}$ și $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 8\end{array}\right)$ sunt egale, unde $\displaystyle I_{3}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.

c) Rezolvați ecuația matriceală $\displaystyle AX = B$, unde $\displaystyle X=\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)$ și $\displaystyle B=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție comutativă $\displaystyle x * y=x y+x+y-5$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 * (-2) = -5$.

b) Verificați dacă legea „$\displaystyle *$” este asociativă.

c) Calculați $\displaystyle (-4) * (-3) * (-2) * (-1) * 0 * 1 * 2 * 3 * 4$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{3}-3 x+7$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=0$.

b) Calculați $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x(2 x+1)(3 x+2)}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \geq 5$ pentru orice $\displaystyle x \in [-1, \infty)$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=e^{x}+2x$ și $\displaystyle F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, F(x)=e^{x}+x^{2}+2014$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{2}(f(x)-2x) d x$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} F(x) f(x) d x$.