Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a & a+1 \\ 2 & a+2 & a+3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Calculaţi $\displaystyle \det(A(0))$.

b) Determinaţi numărul natural $\displaystyle n$, ştiind că $\displaystyle 2A(n^2)-A(n)$ este matricea nulă.

c) Arătaţi că nu există o infinitate de matrice $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ care verifică relaţia $\displaystyle A(2015)X=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3+mX-3$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle m=2$, arătaţi că $\displaystyle f(1)=0$.

b) Determinaţi numărul real $\displaystyle m$, ştiind că polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu $\displaystyle X+1$.

c) Arătaţi că, pentru orice număr real strict pozitiv $\displaystyle m$, polinomul $\displaystyle f$ are două rădăcini de module egale.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{e^x+1}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{e^x}{(e^x+1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=0$, situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Calculaţi $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(-x)$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\left(0, \infty\right) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}$.

a) Calculaţi $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) dx$.

b) Arătaţi că orice primitivă a funcţiei $\displaystyle f$ este funcţie crescătoare pe $\displaystyle \left(0, \infty\right)$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ se consideră numărul $\displaystyle I_n=\int_{0}^{1} \frac{x^n}{x^2+4} dx$. Arătaţi că $\displaystyle nI_n=\sqrt{5}-4(n-1)I_{n-2}$ pentru orice număr natural $\displaystyle n$, $\displaystyle n \geq 3$.