5p Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 4^x=2^{x^2-3}$.

5p Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă suma cifrelor egală cu 9.

5p În sistemul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-3,5)$ și $\displaystyle B(1,3)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle M$, unde $\displaystyle M$ este simetricul punctului $\displaystyle A$ față de punctul $\displaystyle B$.

5p Arătați că $\displaystyle (\cos 120^{\circ} - \sin 30^{\circ})^2 = \cos^2 30^{\circ} + \cos^2 60^{\circ}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+20$. 5p 1. Arătați că $\displaystyle 4*2021=4$.

5p 2. Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este comutativă.

5p 3. Demonstrați că $\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

5p 4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*x=4$.

5p 5. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*y \ge 8$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, cu $\displaystyle x \ge 6$ și $\displaystyle y \ge 6$.

5p 6. Calculați $\displaystyle 1*2^2*3^2*...*2021^2$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} x & 3 \\ 1 & x-2 \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle x$ este număr real. 5p 1. Arătați că $\displaystyle \det A = -3$.

5p 2. Arătați că $\displaystyle A+M(6) = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}$.

5p 3. Arătați că $\displaystyle \det (M(x)) = x(x-1)(x-3)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

5p 4. Determinați numerele întregi $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det (A+M(2)) = 9-a^2$.

5p 5. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle M(x) \cdot M(x) = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$.

5p 6. Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle M(n) + M(n+1) + M(n+2) = 3M(2022)$.

1. Arătați că $\displaystyle (20^2 + 2 · 20 + 2^1) : \left(20 + \frac{1}{2}\right) = 82.$

2. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x-1$ și $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=x+5.$

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_3(1-9x)=2.$

4. Determinați câte numere naturale impare de două cifre au produsul cifrelor număr par.