a) Arătați că $\displaystyle \det(A(3)) = 10$.

b) Calculați determinantul matricei $\displaystyle A(a)$ pentru orice număr real $\displaystyle a$, $\displaystyle a e 2$, rangul matricei $\displaystyle A(n)$ este egal cu 3.

c) Arătați că, pentru orice număr natural $\displaystyle m, m e 2$, rangul matricei $\displaystyle A(m)$ nu are toate elementele numerice întregi dacă $\displaystyle m e -1$ sau $\displaystyle m e 2$, rangul matricei $\displaystyle A(m)$ nu are toate elementele numerice întregi. d) Pe mulțimea $\displaystyle M = (2,+\infty)$, pentru orice $\displaystyle x,y \in M$.

a) Arătați că $\displaystyle 8*5 = \frac{5}{4}$.

b) Calculați $\displaystyle (x+2)*(y+2)$ pentru orice $\displaystyle x, y \in M$.

c) Determinați $\displaystyle x e 2$ \text{și} $\displaystyle x e 1/2$ \text{din mulțimea} $\displaystyle M$ \text{pentru care} $\displaystyle x*x = \frac{x^{n+1}-2^n}{2^n}$ \text{unde} $\displaystyle n \in \{0,1,2,\dots\}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x-9}{x^2-9}$.

b) Determinați intervalul de monotonie al funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +∞} (x-3)f(x)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^3 (f(x) + f(-x)) dx = \frac{5}{8}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1 (f(x) + f(-x)) dx = 4(1 - ln 3)$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0, \sqrt{3})$, pentru care $\displaystyle \int_a^{\sqrt{3}} \sqrt{3}-f(x) dx = \sqrt{3}-1$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(4))=5$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ nu este inversabilă.

c) Pentru $\displaystyle a=3$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ ale sistemului de ecuații pentru care $\displaystyle z_0^2=x_0+y_0$.

a) Arătați că $\displaystyle 4*3=2$.

b) Arătați că $\displaystyle e=9$ este elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle *$.

c) Determinați $\displaystyle x \in G$, știind că este egal cu simetricul lui în raport cu legea de compoziție $\displaystyle *$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2x(2x^2-13)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin(x-3)}{f(x)-f(3)}=\frac{1}{30}$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are exact patru soluții reale.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$.

b) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} f(x)dx = \frac{\pi}{a} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1}^1 xf(x)dx=0$.