a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=2(a^2+1)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(0) = A(0) \cdot A(a)$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ este soluția sistemului de ecuații, atunci $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

a) Arătați că $\displaystyle x*0=x$, pentru orice $\displaystyle x \in M$.

b) Arătați că $\displaystyle x*y < 2$, pentru orice $\displaystyle x, y \in [1, \infty)$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale nenule pentru care $\displaystyle m*n$ este număr natural.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(x-1)^2$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$.

c) Demonstrați că graficul funcției $\displaystyle f$ intersectează orice dreaptă paralelă cu axa $\displaystyle Ox$ în cel mult un punct.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = 2$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 x^2(f(x))^3 dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_1^x \ln(f(t))dt \ge \int_1^x \ln(4t^3+1) dt$, pentru orice $\displaystyle x \in [1, \infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det\left(A(2)\right) = 4$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații nu este compatibil determinat.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle a$ pentru care sistemul are soluția unică $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ și $\displaystyle x_0$ este număr întreg.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * 5 = 5$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, $\displaystyle x \ge 0$, pentru care $\displaystyle \sqrt{x} * \sqrt{x} = 5$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$, $\displaystyle a \neq 5$, pentru care simetricul lui $\displaystyle a$ în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle *$” este strict mai mic decât $\displaystyle 0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 1+\ln(x+1)-\frac{2}{x+1}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty}\left(f(x)f\left(\frac{1}{x}\right)\right)$.

c) Demonstrați că orice două drepte distincte, tangente la graficul funcției $\displaystyle f$, sunt concurente.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} x\sqrt{x+1}\,f(x)\,dx = 7$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} f^{2}(x)\,dx$.

c) Știind că $\displaystyle F:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = 2(x+1)\sqrt{x+1}-6\sqrt{x+1}+4$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$, arătați că $\displaystyle \int_{0}^{3} f(x)F(x)\,dx = 32$.