a) Arătați că $\displaystyle \det(A(-2,0,2))=4$.

b) Arătați că, dacă $\displaystyle abc+ab+bc+ca \ne 0$, atunci matricea $\displaystyle A(a,b,c)$ este inversabilă.

c) Demonstrați că, dacă sistemul de ecuații admite și soluții diferite de soluția $\displaystyle (0,0,0)$, atunci numărul $\displaystyle N = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ este întreg.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * 1 = 1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle f(x) * f(y) = f(xy)$, pentru orice $\displaystyle x,y \in (0,+\infty)$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right) * f\left(\frac{2}{3}\right) * f\left(\frac{3}{4}\right) * ... * f\left(\frac{2020}{2021}\right) = f\left(\frac{2n}{n+1}\right)$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=0$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (0,1)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2x\ln x \le x^2-1$ pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle I_1 + \int_0^1 \frac{1}{1+x}dx = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle I_2 = 2 - \frac{\pi}{2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle I_n \le \ln 2$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(4,2))=0$.

b) Determinați rangul matricei $\displaystyle A(2,1)$.

c) Determinați perechile de numere naturale nenule și distincte $\displaystyle (n,p)$ pentru care $\displaystyle \det((A(3,n))) = \det((A(3,p)))$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*(-1)*3=3$.

b) Arătați că $\displaystyle x*y=(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, $\displaystyle x \ne 3$ pentru care $\displaystyle ((x*x)*x)=((x*x)-3) = 42$, unde $\displaystyle x'$ este simetricul lui $\displaystyle x$ în raport cu legea de compoziție $\displaystyle *$.

a) Pentru $\displaystyle a=0$, arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+2x}}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=\sqrt{2}$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, graficul funcției $\displaystyle f$ admite asimptotă spre $\displaystyle +\infty$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^{\sqrt{3}} \frac{f(x)}{x} dx = \frac{5\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^{2\sqrt{3}} \frac{f(x)}{x} dx = \frac{5\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_0^1 f^n(x) dx = 0$.