a) Arătați că $\displaystyle \det(A(m)+A(-m))=8$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care are loc egalitatea $\displaystyle A(m) \cdot A(m) = A(0)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle A(1) - A(2) + A(3) - A(4) + \dots + A(2n-1) - A(2n) = n(A(-1) - A(0))$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast \frac{1}{2} = \frac{11}{4}$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x \ast (-x)) \ast ((-x) \ast x) = 24x$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \ast \frac{1}{x} \ge 6$, pentru orice număr real nenul $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(x^2+3)}{(x^2+2)\sqrt{x^2+2}}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x))^{2x}$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (0, \infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^{\sqrt{2}} (f(x) + \ln x) dx = \frac{3}{4}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^e (x^3-f(x)) dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^{e^2} \frac{1}{x} f(\sqrt{x}) dx = \frac{2e^3-5}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle m$, rangul matricei $\displaystyle M(m)$ este cel puțin egal cu $\displaystyle 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, $\displaystyle m \ne 1$, știind că inversa matricei $\displaystyle M(m)$ este matricea $\displaystyle A$.

a) Arătați că $\displaystyle z_1 * z_2 = (z_1+1)(z_2+1)-1$, pentru orice numere complexe $\displaystyle z_1, z_2$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real nenul $\displaystyle a$, numărul $\displaystyle A = (-1+(a+1)i) * (-1+(a-1)i)$ este real strict mai mic decât $\displaystyle 0$.

c) Determinați numerele complexe $\displaystyle z$ pentru care $\displaystyle z * z = -5$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x+1 - (x+3)\ln(x+1)}{(x+1)(x+3)^2}$, $\displaystyle x \in (-1,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x f(x))$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (e^x f(x)-2)dx = \frac{2}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^e \frac{\ln x}{f(x)/(e^x)}dx$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră integral $\displaystyle I_n = \int_0^1 x^n f(x)dx$. Calculați $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} I_n$.