a) Arătați că $\displaystyle \det(A+I_3)=1$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A \cdot A = O_3$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A \cdot X = X \cdot A$, atunci există numerele reale $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ și $\displaystyle c$, astfel încât $\displaystyle X = aI_3+bA+cA \cdot A$.

b) Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este comutativă.

c) Demonstrați că $\displaystyle (a*b)+(b*c) \ge a*c$, pentru orice numere reale $\displaystyle a, b$ și $\displaystyle c$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{-x^2+4x-3}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x-1 \le 2e^x$, pentru orice $\displaystyle x \in [1,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 f^2(x) dx = 4$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \ln(f(x)) dx$.

c) Demonstrați că există un singur număr real $\displaystyle x \in [0,+\infty)$, pentru care $\displaystyle \int_0^x e^{f^2(t)} dt = 2021$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=6$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot B = B \cdot A$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, știind că $\displaystyle (x+1)A \cdot B + (y-2)B \cdot A = B \cdot B$.

a) Arătați că $\displaystyle 2*4=4*2$.

b) Arătați că legea de compoziție „*” nu este comutativă.

c) Determinați numerele naturale nenule $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle (2*2)*n<64$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x^2+4x+2}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x+1)-f(x))$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+1)dx = 1$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 |f(x)|dx$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 f^n(x)dx$. Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$.