2. Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este comutativă.

3. Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = (x-4)(y-4)+4$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

4. Demonstrați că $\displaystyle x \circ 4 = 4$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

5. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = x$.

6. Se consideră progresia aritmetică $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ cu $\displaystyle a_1 = -5$ și rația $\displaystyle r=3$. Arătați că $\displaystyle a_1 \circ a_2 \circ a_3 \circ a_4 = 4$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. 1. Arătați că $\displaystyle \det A = 3$.

2. Arătați că $\displaystyle B(1) + B(3) = 2B(2)$.

3. Arătați că $\displaystyle \det(B(x)) = 1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

4. Arătați că $\displaystyle B(x) \cdot B(y) = B(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

5. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(x) = B(x) \cdot A$.

6. Determinați perechile de numere naturale $\displaystyle (m,n)$, pentru care $\displaystyle B(2^m) \cdot B(2^n) = B(2^{m+n}-2)$.

Determinați primul termen al progresiei aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n \geq 1}$, știind că $\displaystyle a_2 = 3$ și $\displaystyle a_3 = 5$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 - 1$. Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle f(n)=3$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{x^2 - 9} = x - 1$.

Determinați numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii $\displaystyle \{1, 2, 3, 4\}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(1, 1)$, $\displaystyle N(3, 3)$ și $\displaystyle P(4, 3)$. Determinați numărul real $\displaystyle a$, pentru care patrulaterul $\displaystyle MNPQ$ este trapez cu bazele $\displaystyle MN$ și $\displaystyle PQ$.

Calculați lungimea ipotenuzei $\displaystyle BC$ a triunghiului dreptunghic $\displaystyle ABC$, în care $\displaystyle AB = 5$ și $\displaystyle \cos B = \frac{1}{2}$.