a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \frac{3}{4}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x^2 f(x) dx = \frac{1}{12}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x))^{n+1} dx \leq \int_0^1 (f(x))^n dx$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -2$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(-a) = (2-a^2)I_2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$, știind că $\displaystyle A(1) \cdot X = A(2)$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 * 2 = 11$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * (-x) = 1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 2^x * 4^x = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-2(x+1)}{(x^2+2x+2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)\sqrt{x^2+4}-x)dx = \frac{5}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^2 \frac{x}{f(x)\sqrt{x^2+4}}dx$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=0$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = 3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a)) = (a-1)(a-3)(3a+1)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle a$ pentru care sistemul are soluție unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ și $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ sunt numere naturale.

a) Arătați că $\displaystyle 0 * 0 = 1$.

b) Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este comutativă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x * x) * x = 3 + \log_2 3$.