a) Arătați că $\displaystyle 0 \circ (-1)=10$.

b) Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este comutativă.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \circ 1 \ge 2$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{x}+\ln x$, $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este descrescătoare pe intervalul $\displaystyle (0,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-1)dx = \frac{1}{2}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=0$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)+\frac{1}{f\left(\frac{1}{x}\right)}\right)dx = \ln\frac{5}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)A(y) = A(xy)$ pentru orice $\displaystyle x, y \in (0, +\infty)$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A\left(\frac{1}{3}\right) A\left(\frac{1}{2}\right) \cdot A(1) \cdot A(2) \cdot A(3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & n \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Pentru $\displaystyle a=10$, arătați că $\displaystyle 1 * 2 = 0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle e=5$ este elementul neutru al legii de compoziție „*”.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle x, y \in [20, +\infty)$, atunci mulțimea $\displaystyle H = [4, +\infty)$ este parte stabilă a mulțimii numerelor reale în raport cu legea de compoziție „*”.

a) Arătați că $\displaystyle f'(0) = \ln 4$.

b) Se consideră tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care punctul $\displaystyle A(a, \ln(16e))$ este situat pe această tangentă.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+3)f(x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = 1 - \ln \frac{4}{3} - \frac{\pi\sqrt{3}}{9}$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 f^n(x)dx$. Arătați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = 0$.