a) Arătați că $\displaystyle \det A = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot A = xA$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det (A+aI_2) + \det (A-I_2) = \det (aI_2)$.

a) Arătați că $\displaystyle (-1) \circ 2020 = -6$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = -2$.

c) Știind că $\displaystyle m$ este număr real astfel încât $\displaystyle m \circ (-2) = 1 \circ (-m)$, calculați $\displaystyle m \circ (-m)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 1 + \frac{2}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este concavă.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)-2)dx = \frac{1}{4}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(2)=7$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} e^x(f(x)-x^3+x^2)dx = 3e-4$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -2$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x(A+B)=C$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A \cdot B - B \cdot A = 2X + C$.

a) Arătați că $\displaystyle 2020 \circ (-4) = -4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = (x+4)(y+4)-4$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=12x(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{f(x)-4x^3}$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (f(x)-4x^2)dx = 24$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=2020$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, $\displaystyle m>1$, știind că $\displaystyle \int_1^m \frac{f(x)}{x^2}dx = \frac{17}{2}$.