a) Arătați că $\displaystyle \det(B(0)) = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A + I_2 = O_2$, unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det(B(x)) \ge 1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle 2020 * 0 = 3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x+1)(y+1)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere întregi pentru care $\displaystyle m * n = 2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 8x(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -5 \le f(x) \le -3$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^4 (f(x) + \frac{2\sqrt{x}}{x^2})dx = 21$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{x^4}{12} + \frac{4}{3\sqrt{x}} + 2020x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x) + \frac{2\sqrt{x}}{x^2})e^x dx = e(2e-1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=0$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ are rangul 2.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că sistemul are soluție unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ și $\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=3$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x \ast y = (x-\frac{1}{2})(y-\frac{1}{2})+\frac{1}{4}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale nenule $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x \ast x = \frac{1}{x} \ast \frac{1}{x} \ast \frac{1}{x}$.

c) Arătaţi că nu există numere întregi $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, astfel încât $\displaystyle x \ast y$ să fie simetricul lui $\displaystyle y$ în raport cu legea de compoziţie „$\displaystyle \ast$”.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x-2)^2}{x}, x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle A(3,3)$ și este paralelă cu tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Se consideră numerele reale $\displaystyle a, b$ și $\displaystyle c$ astfel încât punctul $\displaystyle M(a,b)$ este situat pe graficul funcției $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=x^2-8\ln x+2$ și punctul $\displaystyle N(a,c)$ este situat pe graficul funcției $\displaystyle h:(0,+\infty) \to \mathbb{R}, h(x)=8x-12$. Demonstrați că $\displaystyle b \ge c$, pentru orice $\displaystyle a \in [2,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (x^2+4)f(x)dx = -\frac{11}{3}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (-\infty,0]$.

c) Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră $\displaystyle I_n = \int_1^n x^n f(x)dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = -\infty$.