a) Arătați că $\displaystyle \det A = -3$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A + 3A + 4I_2 = O_2$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ astfel încât $\displaystyle A \cdot A = xA + yI_2$.

a) Arătați că $\displaystyle 2020 * 1 = 1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * y = 2(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x * x = x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=9(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(2019)+f(2021) \ge f(2020)+f(2022)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 (f(x)+4) dx = 9$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{f(x)+5} dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a>0$, pentru care $\displaystyle \int_a^{a+1} \frac{1}{x^2} dx = -8$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det A = -5$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \det (A+M(-1)) = \det B$.

c) Determinaţi numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle M(x) \cdot A - A \cdot M(x) = B$.

a) Arătaţi că $\displaystyle 90$ este elementul neutru al legii de compoziţie $\displaystyle \ast$.

b) Demonstraţi că $\displaystyle (x \ast y) \ast z = x \ast (y \ast z)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ şi $\displaystyle z$.

c) Determinaţi numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x^2) \ast (2x+1) = -74$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=12(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculaţi $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)-4x^3}{x}$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle 3 \le f(x) \le 19$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,1]$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)-\frac{1}{x}\right) dx = 4$.

b) Demonstraţi că funcţia $\displaystyle F:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=\frac{5x^2+2020}{2}+\ln x$ este o primitivă a funcţiei $\displaystyle f$.

c) Calculaţi $\displaystyle \int_1^e f(x)(5x-\ln x)dx$.