Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln x - \frac{x}{x+e}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to e} f(x)$.

b) Arătați că dreapta de ecuație $\displaystyle x=0$ este asimptotă verticală la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x^2-6, & x \le 2 \\ x^2-a, & x > 2 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$ știind că funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=2$.

b) Pentru $\displaystyle a=8$, rezolvați ecuația $\displaystyle f(x)=0$.

c) Pentru $\displaystyle a=8$, stabiliți semnul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră determinanții $\displaystyle d=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \end{vmatrix}$ și $\displaystyle D(a)=\begin{vmatrix} 4-a & a-1 \\ a+1 & 4-a \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle d=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle D(a)=1$.

c) În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,1)$, $\displaystyle B(2,4)$ și $\displaystyle C(3,m)$. Determinați numerele reale $\displaystyle m$ știind că $\displaystyle \mathcal{A}_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & x \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle A(2)+A(-2)$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ pentru care $\displaystyle A(2)\cdot\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$.

c) Arătați că matricea $\displaystyle A(x)$ este inversabilă pentru orice număr întreg $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}xf(x)$.

c) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\begin{cases} x-2, & x<2 \\ x^2-4x+4, & x\geq 2 \end{cases}$.

a) Calculați $\displaystyle f(1)\cdot f(3)$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0$, pentru orice $\displaystyle a<2$ și $\displaystyle b>2$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = (a+2)(a-1)^2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Calculați inversa matricei $\displaystyle A(-1)$ în $\displaystyle \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$.

c) Determinați perechile de numere naturale $\displaystyle (a,b)$ pentru care matricea $\displaystyle A(a) \cdot A(b)$ are suma elementelor egală cu $\displaystyle 24$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y = 3xy-3x-3y+4$. Legea $\displaystyle *$ este asociativă și are element neutru.

a) Arătați că $\displaystyle x*y = 3(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Calculați $\displaystyle \frac{1}{1007} * \frac{2}{1007} * \dots * \frac{2014}{1007}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ care sunt egale cu simetricele lor față de legea „*”.