1. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie $\displaystyle x * y = 2xy + 10x + 10y + 45$. Calculaţi $\displaystyle 2 * (-5)$.

2. Arătaţi că $\displaystyle x * y = 2(x + 5)(y + 5) - 5$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$.

3. Arătaţi că legea de compoziţie „$\displaystyle *$” este asociativă.

4. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia $\displaystyle x * x = 27$.

5. Calculaţi $\displaystyle (-2014) * (-2013) * \dots * 2013 * 2014$.

6. Calculaţi în $\displaystyle \mathbb{Z}_6$ suma elementelor mulţimii $\displaystyle H = \{x^2 | x \in \mathbb{Z}_6 \}$.

1. Se consideră $\displaystyle \mathbb{Z}_6 = \{\hat{0}, \hat{1}, \hat{2}, \hat{3}, \hat{4}, \hat{5}\}$, mulţimea claselor de resturi modulo 6. Calculaţi $\displaystyle \hat{0} + \hat{1} + \hat{2} + \hat{3} + \hat{4} + \hat{5}$ în $\displaystyle \mathbb{Z}_6$.

2. Calculaţi $\displaystyle \hat{5} \cdot \hat{5}$ în $\displaystyle \mathbb{Z}_6$.

3. Determinaţi simetricul elementului $\displaystyle \hat{2}$ în raport cu operaţia de adunare în $\displaystyle \mathbb{Z}_6$.

4. Rezolvaţi în $\displaystyle \mathbb{Z}_6$ ecuaţia $\displaystyle \hat{5} \cdot x + \hat{2} = \hat{0}$.

5. Determinaţi elementele simetrizabile în raport cu înmulţirea în $\displaystyle \mathbb{Z}_6$.

6. Calculaţi în $\displaystyle \mathbb{Z}_6$ suma elementelor mulţimii $\displaystyle H = \{x^2 | x \in \mathbb{Z}_6 \}$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ știind că numerele $\displaystyle 4$, $\displaystyle 36$ și $\displaystyle x$ sunt în progresie geometrică.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x+a$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle (f \circ f)(x) = x$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^{x^2+2} = \sqrt{3}$.

Determinați numărul submulțimilor cu cel mult $\displaystyle 3$ elemente ale mulțimii $\displaystyle M = \{1,2,3,4\}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctul $\displaystyle A(2, -3)$ și dreapta $\displaystyle d: 2x+y-5=0$. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle A$ și este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle d$.

Calculați $\displaystyle \sin 2x$, știind că $\displaystyle x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ și $\displaystyle \cos x = \frac{\sqrt{5}}{7}$.