a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle B \cdot B + A = O_2$.

c) Determinați $\displaystyle x, y \in (0,+\infty)$ pentru care $\displaystyle A \cdot B + B \cdot A - (A+B) = \begin{pmatrix} \log_2 x & 0 \\ 0 & \log_3 y \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle 2020 \ast 5 = 2022$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x \ast x = 24$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 5^x \ast 5^{x+1}=11$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3(1-x)(1+x)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)-7}{x-2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x)\le 11$, pentru orice $\displaystyle x\in [-1,+\infty)$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x^2) dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x^2) e^x dx$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0,+\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_0^a (f(x)-f(-x)) dx = \ln(2a)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(B(1))=1$.

b) Arătați că $\displaystyle A\cdot A-2A=I_2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A\cdot B(x)=I_2$.

a) Arătați că $\displaystyle (-1)*2020=-3$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*(2x)=3$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle m*n=1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(x-1)(4x-1)}{x^2}$, $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1(f(x)-x^2-x-1)dx=0$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=1$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x^2+1}e^x dx=(ae^2)^2-e$.