a) Arătați că $\displaystyle \det(A+I_2)=5$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A = 4A$.

c) Demonstrați că există o infinitate de matrice $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2,2}(\mathbb{R})$, pentru care $\displaystyle A \cdot X = X \cdot A$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*2=2$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*x \le 1$.

c) Calculați $\displaystyle (-1)*1* \dots *2020$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{2(x-1)(x^2+x+1)}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{2}{3} \ln \frac{3}{2} \le \int_1^2 \frac{f(x)}{x^3} dx \le \frac{5}{18}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+2020x-1)dx = \frac{1}{2021}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle [1, \infty)$.

c) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^1 (f(-x) - f(x) )dx$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -4$.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A-2B(x,y)) = 0$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(x,y) = B(x,y) \cdot A$.

a) Arătați că $\displaystyle 2020 * (-2) = -2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x+2)(y+2)-2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale nenule $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 1/x * x = x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3x^2+2x-2, x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)/x^3 = 3$.

c) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta $\displaystyle y = 3x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} (f(x)-x^3-2x-2)dx = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{2} e^x(f(x)-x^3-x^2-1)dx = -2$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă.