a) Arătați că $\displaystyle \det A = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A + A = O_2$.

c) Demonstrați că există o infinitate de matrice $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle \det(X+I_2) = \det X$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ \sqrt{2} = 1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = -(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 3^x \circ 5^x = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 4x(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, este $\displaystyle y=24x-103$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3}$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>1$, pentru care $\displaystyle \int_1^a \frac{f(x)}{F(x)} dx = \ln \frac{8}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A+I_3)=4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A \cdot A + A = 2A \cdot A$.

c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care matricea $\displaystyle B(x) = A+xI_3$ este inversabilă.

a) Arătați că $\displaystyle 2020 * 0 = 2021$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este asociativă.

c) Pentru $\displaystyle a=-1$, determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * 2^x = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f(x) = \frac{2(x-1)}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (2, + \infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle x=3$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle (2, + \infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{\sqrt{x^2+1}}dx = \frac{3}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^2 f^2(x)dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^a f(x)dx \le \int_0^a f(x)dx$, pentru orice $\displaystyle a \in [2020, + \infty)$.