a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A \cdot A \cdot A = A$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$, astfel încât $\displaystyle A \cdot X = I_2 + 3A$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 * 2020 = 2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x-2)(y-2)+2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle m * n = 13$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 2xe^{x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim\limits_{x \to 0} \frac{f'(x)}{x}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle xe^{x} \ge e^{x}-1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{2}(x+4)f(x)\,dx = 6$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-2}^{0} f(x)\,dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-3}^{a} f'(x) \cdot f''(x)\,dx = 2\left(\frac{1}{(a+4)^{4}}-1\right)$, pentru orice $\displaystyle a \in (-3,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A-B)=-1$.

b) Demonstrați că matricea $\displaystyle C = A \cdot A + B \cdot B$ nu este inversabilă.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle X \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle X = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast 1 = 1$.

b) Determinați numărul $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \ast 2 = \frac{3}{2}$.

c) Calculați $\displaystyle \lg 2 \ast \lg 4 \ast \lg 6 \ast \lg 8 \ast \lg 10$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x_0 = 1$.

b) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f'$ este crescătoare pe $\displaystyle (1, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 x f(x) dx = e(e-1)$.

b) Calculați $\displaystyle \int_e^{e^2} \frac{g(x)}{xe^x} dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_1^e (f(x)+g(x)) dx = e^e$.