a) Arătați că $\displaystyle \det(M(1)) = -1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(a) \cdot M(b) = M(a+b)$ pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle M(1) \cdot X = M(0)$.

a) Arătați că $\displaystyle x * (-1) = -1$ pentru orice număr real $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * y = 4(x+1)(y+1) - 1$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = 19$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (x f(x) - x^2) dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^1 \frac{1}{f(x)} dx$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \frac{\pi^2}{3} + \frac{\pi}{4} - 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \operatorname{det}(A(1))=-5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)+A(-x)=2 A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(x)=10 I_{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * 2=2$.

b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x * (x-1)=-1$.

c) Dați exemplu de două numere iraționale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle a * b \in \mathbb{N}$.

a) Arătați că $\displaystyle f^{\prime}(x)=5 x^{2}(x-3)(x-1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -27 \leq f(x) \leq 1$, pentru orice $\displaystyle x \in[0,3]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) d x=e$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^{1} x f(x) d x$.