a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = -5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(a+b-6ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(n) = A(n)$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * 3 = 3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x * x = x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 5(x-1)(x+1)(x^2+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (-\infty, 0]$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x) = 2025$ nu admite nicio soluție în intervalul $\displaystyle [-1, 1]$.

a) Arătați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle [0, \pi]$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} 2f(x)f'(x)dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi} xf(x)dx = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \det M = 4$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(-a) + a^2 \cdot I_2 = M$, pentru orice număr real $\displaystyle a$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, știind că $\displaystyle M \cdot X = A(0)$.

a) Arătați că $\displaystyle 5*5=0$.

b) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n^2 * n < -4$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x * x = x^2 - 18$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=6x(x-1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)-x^3+2x^2-x-2}{x-1}=2$.

c) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=12x+2020$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} (f(x)-x^3+x+2)dx=0$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)-x^3+2)e^x dx$.

c) Determinați numărul real pozitiv $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)dx=m^2+1$.