a) Arătați că $\displaystyle \det A = -2$.

b) Arătați că matricea $\displaystyle B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ este inversa matricei $\displaystyle A$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că sistemul de ecuații are soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ cu $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

a) Arătați că $\displaystyle i \circ i = -1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle z_1 \circ z_2 = (z_1+1)(z_2+1)-1$, pentru orice numere complexe $\displaystyle z_1$ și $\displaystyle z_2$.

c) Determinați simetricul numărului $\displaystyle \frac{1}{2}(1+i)$ în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{n(x^n-1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^n}{x} = 0$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are soluție în intervalul $\displaystyle (0,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^2) dx = 1$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) e^{x^3+3x} dx$.

c) Arătați că $\displaystyle 15 \int_0^1 f^7(x) dx - 14 \int_0^1 f^6(x) dx = 128$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(10)) = 10$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)-A(b) = (a-b)(A(1)-A(0))$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \det(A(2)) + \det(A(3)) + \dots + \det(A(n)) = 35$.

a) Arătați că $\displaystyle 4*\sqrt{3} = 4$.

b) Determinați simetricul elementului $\displaystyle x=\sqrt{6}$, în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Calculați $\displaystyle \sqrt{2}*\sqrt{3}*\sqrt{4}* \dots *\sqrt{2020}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\ln x + 1}{\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = \frac{1}{e}$ situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \sqrt{e}f(x) + 4 \ge 0$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^2 f(x) dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^0 e^x f(x) dx = \frac{5-3e}{e}$.