Se consideră matricea $\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a+1 & a-1 \\ b & b-2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2,3))=0$.

b) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a\in\mathbb{Q}$ și $\displaystyle b\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, atunci matricea $\displaystyle A(a,b)$ este inversabilă.

c) Determinați matricea $\displaystyle X\in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(-1,\sqrt{2})\cdot X=A(0,0)$.

Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y=5xy+x+y$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*4=25$.

b) Demonstrați că $\displaystyle e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Determinați elementele simetrizabile în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle *$”.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Se consideră dreapta $\displaystyle d$, asimptota oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul lui $\displaystyle f$. Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la grafic este paralelă cu dreapta $\displaystyle d$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle [0,\sqrt{3}]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x \cos x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{f(x)}{e^x}dx = 1$.

b) Calculati $\displaystyle \int_0^{\pi/2} f(x)dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi/2} f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)dx = -e^{\frac{\pi}{2}} + \ln 2$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+2y-z=2 \\ y+3z=4 \\ 2x-y+az=2 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=18$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, rezolvați sistemul de ecuații.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = 2xy - x - y + 1$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, astfel încât $\displaystyle a \ast a = a$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x-1$. Demonstrați că $\displaystyle f(x \ast y) = f(x) \cdot f(y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\ln(2^x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1-\frac{2^x \ln 2}{2^x+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este crescătoare.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x+2)\sin x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{x+2} dx = 1$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)dx$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, $\displaystyle n \ge 2$, pentru care $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{f^2(x)} dx = \frac{1}{n^2}$.