a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = 4$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = 2A(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ și numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot A(2) \cdot \dots \cdot A(n) = 2^x A(15)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*(x+1)=x^2-7$.

c) Demonstrați că $\displaystyle a^2*b^2 \ne 0$, pentru orice numere întregi $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^{2x}(2x-9)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{f(x)}$.

c) Arătați că $\displaystyle e^{2x} \le \frac{e^9}{2(5-x)}$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 5)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 f(x)\sqrt{x^2+1}dx = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)\right)dx = \sqrt{5}-\sqrt{2}+\ln \frac{2+\sqrt{5}}{1+\sqrt{2}}$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (1, +\infty)$ astfel încât $\displaystyle \int_0^x f'(t)e^{t^2}dt = \ln(\sqrt{x^2+1}e^{2x}) + \ln(a-1)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = 0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(2)+xI_2)=0$.

c) Arătați că, dacă $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(b) \cdot A(a)$, atunci $\displaystyle a=b$.

a) Arătați că $\displaystyle 0*8=8$.

b) Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” nu are element neutru.

c) Demonstrați că există o infinitate de perechi $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale nenule pentru care numărul $\displaystyle m*n$ este natural nenul.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2\sqrt{x+1}-1}{2\sqrt{x+1}}$, $\displaystyle x \in (-1,+\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln x \ge \sqrt{\ln x+1}-1-\sqrt{2}$, pentru orice $\displaystyle x \in [e,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{F(x)}{e^x} dx = \frac{10}{3}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ și $\displaystyle c$ astfel încât funcția $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=e^x(ax^2+bx+c)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.