Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -5 & -3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle 2A - B = A - I_2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ știind că $\displaystyle A \cdot A - xA = I_2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = 2(x+y-1) - xy$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast 2 = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle x \ast 2 = 2 \ast x = 2$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x \ast x = x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x-1)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x) = xe^x$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)+1}{x} = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 3x^2 + 2x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} 3x^2 \operatorname{d}x = 7$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1) = 2014$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n, n \ge 2$ știind că $\displaystyle \int_{1}^{n} \frac{f(x)}{x} \operatorname{d}x = \frac{13}{2}$.

Se consideră determinantul $\displaystyle D(x,y)=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ x & y & 2 \ x^2+1 & y^2+1 & 5 \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Calculați $\displaystyle D(1,1)$.

b) Arătați că $\displaystyle D(x,y)=(x-2)(y-2)(y-x)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle D(2^x, 4^x)=0$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & x & 1 \ 1 & 1 & x \ x & 1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle A(1)-A(-2)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(n)$ este inversabilă pentru orice număr natural $\displaystyle n$, $\displaystyle n \neq 1$.

c) Determinați inversa matricei $\displaystyle A(0)$.

Se consideră șirul de numere reale $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, $\displaystyle a_n = \frac{n^2+1}{n^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

b) Demonstrați că șirul $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ este mărginit.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (n\sqrt{a_n^2+2} - n)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)= \begin{cases} e^x+a, & x<2 \\ x^2, & x=2 \\ 2x+b, & x>2 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Pentru $\displaystyle b=2$, rezolvați în mulțimea $\displaystyle (2, +\infty)$ inecuația $\displaystyle (f(x)-1)(2^x-16) \le 0$.